已知首项为整数的等比数列{an}的前n项和为Sn,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 09:21:57
已知首项为整数的等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{an^2/a(n+1)}的前n项为Tn，且对一切正整数n都有Sn<Tn，求数列{an}的公比q的取值范围。

{an}为等比数列，q为公比
所以：an=(a1)*q^(n-1)
如果q不等于1
Sn=(a1)*(1-q^n)/(1-q)

记：数列{an^2/a(n+1)}为{bn}
所以：bn=an^2/a(n+1)=((a1)^2*q^(2n-2))/((a1)*q^n)
=(a1)*q^(n-2)
=(a1/q)*q^(n-1)
所以：{bn}也是等比数列，公比为q，b1=a1/q
所以：Tn=(a1/q)*(1-q^n)/(1-q)
而：Sn<Tn
(a1)*(1-q^n)/(1-q)<(a1/q)*(1-q^n)/(1-q)
如果q不等于1，则总有(1-q^n)/(1-q)>0
所以：a1<a1/q
a1为整数，所以：a1>0
1<1/q
因而0<q
再由1<1/q, 0<q
得:0<q<1

如果q等于1
则:an=a1
bn=an^2/a(n+1)=(a1)^2/a1=a1
所以：数列{an}与数列{bn}完全相同
Sn=Tn
这与条件Sn<Tn矛盾，所以q不可能等于1

综合上述，q的取值范围：0<q<1